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小黑牛的博客

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2012年10月21日  

2012-10-21 20:41:56|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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全概率公式、贝叶斯公式解题举例

12
小黑牛
2012年10月21日 - 小黑牛 - 小黑牛的博客
身份:圈友
发帖:2385
1条件概率和概率的乘法公式 
设A, B是两个事件,且P(A)<0 称P(B∣A)=P(AB)/P(A)为在条件A下发生的条件事件B发生的条件概率。设A, B是两个事件,且P(B)<0 称P(A∣B)=P(AB)/P(B)为在条件B下发生的条件事件A发生的条件概率。由上述的条件概率的公式得概率的乘法公式:P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B) 
2由概率的乘法公式得出全概率公式 
假设A是由互斥事件的组成的概率空间{A1,A2,...An}。 
          B=(A1∪A2∪……An)B= A1B∪ A2B∪……AnB, 
       P(B)=P(A1B∪A2B∪……A3B)=P(A1B)+P(A2B)+……P(AnB) 
由概率的乘法公式得出关于P(B) 的全概率公式 
P(B) = P(A1 )P(B| A1)+P(A2)P(B| A2)+……+P(An)P(B|An) 
 
3概率的乘法公式得到贝叶斯公式: 
由P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)得出: 
P(B|A) = P(B)P(A|B) /P(A);得出贝叶斯公式:P(Bi|A) = P(Bi)P(A|Bi) /P(A) 
 
4由全概率公式得到另一种表现形式的贝叶斯公式 
假设B 是由相互独立的事件组成的概率空间{B1,b2,...bn}。则P(A) 可以用全概率公式展开:P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + .. P(Bn)P(A|Bn)。 
贝叶斯公式表示成: 
P(Bi|A) = P(Bi)P(A|Bi) / (P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + .. P(Bn)P(A|Bn)); 
贝叶斯公式有时称为后验概率公式,它是在已知结果发生的情况下,求导致结果的某种原因的可能性大小,要用贝叶斯公式,它是由“结果”求“原因” 
5条件概率、全概率公式、贝叶斯公式解题举例 
例如:若某种病是常染色体隐性病,正常人群中AA占2/3,则一对正常的夫妇生的两个正常孩子是杂合体的概率是___________ 
解正常的夫妇的结合方式为 
1/9Aa和Aa、4/9AA和Aa、4/9AA和Aa 
(1)用全概率公式、条件概率解 
由全概率公式得,正常的夫妇生的两个孩子是杂合体的概率为 
(1/9)(2/4)^2+(4/9)(1/2)^2 
正常的夫妇生的两个孩子是正常的概率为 
(1/9)(3/4)^2+(8/9) 
由条件概率得一对正常的夫妇生的两个正常孩子是杂合体的概率为 
((1/9)(2/4)^2+(4/9)(1/2)^2)/ ((1/9)(3/4)^2+(8/9))=20/137 
(2)用全概率公式、条件概率公式得出的含贝叶斯公式的式子来解 
((1/9)(2/4)^2+(4/9)(1/2)^2)/ ((1/9)(3/4)^2+(8/9)) 
=((1/9)(3/4)^2(2/3)^2+(4/9)(1/2)^2)/ ((1/9)(3/4)^2+(8/9)) 
=((1/9)(3/4)^2(2/3)^2/ ((1/9)(3/4)^2+(8/9)) 
+(4/9)(1/2)^2)/ ((1/9)(3/4)^2+(8/9)) 
[((1/9)(3/4)^2/ ((1/9)(3/4)^2+(8/9)) (2/3)^2 
+[(4/9)/ ((1/9)(3/4)^2+(8/9)) ](1/2)^2) 
=(9/137)(4/9)+ (64/137)(1/4)= 20/137 
注: (1/9)(3/4)^2/ ((1/9)(3/4)^2+(8/9)就是用贝叶斯公式得出的是两个正常孩子是Aa和Aa所生的概率,(4/9)/ ((1/9)(3/4)^2+(8/9)就是贝叶斯公式得出的是两个正常孩子是AA和Aa所生的概率 
6贝叶斯公式是在已知结果发生的情况下,求导致结果的某种原因的可能性大小,用贝叶斯公式,是由“结果”求“原因”,若用再用它求果就可能错误。 
用贝叶斯公式错解上题如下: 
由全概率公式得,正常的夫妇生的一个孩子是杂合体的概率为 
(1/9)(2/4)+(4/9)(1/2) 
正常的夫妇生的一个孩子是正常的概率为 
(1/9)(3/4)+(8/9) 
由条件概率得一对正常的夫妇生的一个正常孩子是杂合体的概率为 
((1/9)(2/4)+(4/9)(1/2))/ ((1/9)(3/4)+(8/9))=2/7 
生出一个正常孩子后用贝叶斯公式得出: 
一个正常孩子是Aa和Aa所生的概率为 
(1/9)(3/4)/ ((1/9)(3/4)+(8/9))=3/35, 
一个正常孩子是AA和Aa所生的概率为 
(4/9)/ ((1/9)(3/4)+(8/9))=16/35, 
一个正常孩子是AA和AA所生的概率为 
(4/9)/ ((1/9)(3/4)+(8/9))=16/35 
由全概率公式得,正常的夫妇生的第二个孩子是杂合体的概率为 
(3/35)(2/4)+(16/35)(1/2) 
正常的夫妇生的第二个孩子是正常的概率为 
(3/35(3/4)+(32/35) 
由条件概率得一对正常的夫妇生的第二个正常孩子是杂合体的概率为 
[(3/35)(2/4)+(16/35)(1/2)]/ (((3/35(3/4)+(32/35))=38/137 
概率的乘法公式得到一对正常的夫妇生的二个正常孩子是杂合体的概率为 
(2/7)(38/137)=76/959 
2011-11-01 16:23 删除 回复此发言


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